Блог

Jul 10, 2024

Новообретенная математическая форма «Эйнштейна» создает «никогда»

A new shape called an einstein has taken the math world by storm. The craggy, hat-shaped tile can cover an infinite plane with patterns that never repeat. Creatively tiling a bathroom floor isn’t just

Новая фигура под названием «Эйнштейн» произвела фурор в математическом мире. Скалистая плитка в форме шляпы может покрыть бесконечную плоскость узорами, которые никогда не повторяются.

Творческая укладка плитки на пол в ванной — это не просто стрессовая задача для тех, кто занимается ремонтом дома своими руками. Это также одна из самых сложных задач в математике. На протяжении веков специалисты изучали особые свойства форм плитки, которой можно покрывать полы, кухонные фартуки или бесконечно большие плоскости, не оставляя при этом никаких зазоров. В частности, математиков интересуют формы плиток, которые могут покрыть всю плоскость, не создавая при этом повторяющегося рисунка. В этих особых случаях, называемых апериодическими мозаиками, нет шаблона, который можно было бы скопировать и вставить, чтобы сохранить мозаику. Как бы вы ни измельчали ​​мозаику, каждая ее часть будет уникальной.

До сих пор для апериодических мозаик всегда требовалось как минимум две плитки разной формы. Многие математики уже оставили надежду найти решение с помощью одной плитки, называемой неуловимой плиткой «Эйнштейна», которая получила свое название от немецкого слова «один камень».

Затем, в ноябре прошлого года, вышедший на пенсию инженер систем печати Дэвид Смит из Йоркшира, Англия, совершил прорыв. Он обнаружил 13-гранную скалистую форму, которая, по его мнению, могла быть плиткой Эйнштейна. Когда он рассказал об этом Крейгу Каплану, ученому-компьютерщику из Университета Ватерлоо в Онтарио, Каплан быстро осознал потенциал этой формы. Вместе с разработчиком программного обеспечения Джозефом Сэмюэлем Майерсом и математиком Хаимом Гудманом-Стросом из Университета Арканзаса Каплан доказал, что единственная плитка Смита действительно вымощает плоскость без пробелов и повторений. Более того, они обнаружили, что Смит обнаружил не одну, а бесконечное количество плиток Эйнштейна. Недавно команда сообщила о своих результатах в статье, которая была размещена на сервере препринтов arXiv.org и еще не прошла рецензирование.

Любой, кто гулял по захватывающим дух мозаичным коридорам дворца Альгамбра в Гранаде, Испания, знает, какое мастерство необходимо для облицовки плоскости плиткой. Но такая красота таит в себе вопросы, на которые нет ответов, которые, как заявил математик Роберт Бергер в 1966 году, доказуемо недоказуемы.

Предположим, вы хотите выложить бесконечную поверхность бесконечным количеством квадратных плиток. Однако вы должны следовать одному правилу: края плиток окрашены, и соприкасаться могут только края одного цвета.

Имея бесконечные плитки, вы начинаете раскладывать кусочки. Вы находите стратегию, которая, по вашему мнению, сработает, но в какой-то момент заходите в тупик. Есть пробел, который вы просто не можете заполнить имеющимися у вас плитками, и вам приходится размещать несовпадающие края рядом друг с другом. Игра закончена.

Но, конечно, если бы у вас была правильная плитка с правильной цветовой комбинацией, вы могли бы выбраться из неприятностей. Например, возможно, вам нужна была всего одна плитка, у которой все края были одного цвета. Математик посмотрит на вашу игру и спросит: «Можете ли вы определить, зайдете ли вы в тупик, просто взглянув на типы цветных плиток, которые вам дали в начале? Это, безусловно, сэкономит вам много времени».

Ответ, как обнаружил Бергер, — нет. Всегда будут случаи, когда вы не сможете предсказать, сможете ли вы покрыть поверхность без зазоров. Виновник: непредсказуемая, неповторяющаяся природа апериодических мозаик. В своей работе Бергер обнаружил невероятно большой набор из 20 426 плиток разного цвета, которыми можно выложить плоскость без повторения цветового рисунка. Более того, с таким набором плиток физически невозможно сформировать повторяющийся узор, как бы вы их не укладывали.

Это открытие подняло еще один вопрос, который с тех пор преследует математиков: каково минимальное количество фигур плитки, которые вместе могут создать апериодическую мозаику?

В последующие десятилетия математики находили все меньшие и меньшие наборы плиток, из которых можно создавать апериодические мозаики. Сначала Бергер нашел одну, состоящую из 104 разных плиток. Затем, в 1968 году, ученый-компьютерщик Дональд Кнут нашел пример с 92. Три года спустя математик Рафаэль Робинсон нашел вариант, содержащий только шесть типов плиток, и, наконец, в 1974 году физик Роджер Пенроуз представил решение, состоящее всего из двух плиток.